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Section 5.2 三角関数

Subsection 5.2.1 三角比

\(\angle ABC = 90 ^ \circ\)となる直角三角形\(\triangle ABC\)を考える。 このとき、直角でない残りの2つの角のうち一つの角度と、直角三角形の斜辺の長さが分かれば、\(\triangle ABC\)はただ一つに定まる。

図5.9のように、\(\angle A\)を共有する2つの直角三角形\(\triangle ABC, \triangle AB'C'\)があり、\(\angle B = \angle B' = 90^\circ\)とする。 このとき、三角形の2つの角が等しいので、\(\triangle ABC \sim \triangle AB'C'\)である。 相似な三角形では辺の比が等しいので、\(BC : B'C' = CA : C'A\)より\(BC \times C'A = B'C' \times CA\)となり、\(\frac{BC}{CA} = \frac{B'C'}{C'A}\)が成り立つ。 同様にして、\(\frac{AB}{CA} = \frac{AB'}{C'A}, \frac{BC}{AB} = \frac{B'C'}{AB'}\)も成り立つ。
図 5.9. 直角三角形の辺の比

この定理により、直角三角形の辺の比はどの三角形でも、\(\angle A\)の大きさのみによって定まることが分かる。 従って、直角三角形の辺の比を、\(\angle A\)によって定まる関数として定義できる。

定義 5.10. 三角比.
\(\angle ABC = 90 ^ \circ\)の\(\triangle ABC\)において、\(\theta = \angle A, x = AB, y = BC, r = CA\)とおく。 このとき、各辺の比を三角比といい、次のように定義する。

  • \(\sin(\theta) = \frac{y}{r} = \frac{BC}{CA} = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}\)を、\(\angle A\)の正弦(sine)またはサインという。

  • \(\cos(\theta) = \frac{x}{r} = \frac{AB}{CA} = \frac{\text{底辺}}{\text{斜辺}}\)を、\(\angle A\)の余弦(cosine)またはコサインという。

  • \(\tan(\theta) = \frac{y}{x} = \frac{BC}{AB} = \frac{\text{対辺}}{\text{底辺}}\)を、\(\angle A\)の正接(tangent)またはタンジェントという。

図 5.11. 三角比
\(\sin(\theta)\)は\(\sin \theta\)のように、括弧を省略して表すことが多い。同様に、\(\sin 2\theta = \sin(2\theta), \sin 3\theta = \sin(3\theta), \sin \frac{1}{2}\theta = \sin(\frac{1}{2}\theta)\)のように表す。 また、\(\sin^2\theta = (\sin\theta)^2\)のように、冪乗の指数を\(\sin\)の後に書き、括弧を省略することも多い。 ただし、\(\sin(-\theta)\)や\(\sin(\theta + \phi)\)は括弧を省略せず表す。この略記法は三角関数に特有のもので、他の関数ではこの略記は行わない。

三角関数の値は実数だが、正確に表すのが困難な無理数になり、求められないことが多い。そのため、三角関数の値を調べるときには、三角比の表を参照することが多い。 ただし、直角三角形のうちには辺の比が\(1 : 2 : \sqrt{3}\)や\(1 : 1 : \sqrt{2}\)となる有名なものがある。そのため、幾つかの角度については、三角関数は簡単に表せる数となる。

\begin{align*} \sin 30 ^ \circ &= \frac{1}{2}, & \cos 30 ^ \circ &= \frac{\sqrt{3}}{2}, & \tan 30 ^ \circ &= \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \sin 45 ^ \circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}, & \cos 45 ^ \circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}, & \tan 45 ^ \circ &= 1\\ \sin 60 ^ \circ &= \frac{\sqrt{3}}{2}, & \cos 60 ^ \circ &= \frac{1}{2}, & \tan 60 ^ \circ &= \sqrt{3} \end{align*}

Subsection 5.2.2 三角関数

鋭角以外の角でも三角関数を拡張するために、\(xy\)平面上に図のような円をとり、座標平面上で三角関数の値を定義する。

定義 5.13. 三角関数.
原点\(O\)を中心とする半径\(r\)の円上に点\(P(x,y)\)をとり、線分\(OP\)と\(x\)軸がなす角度を\(\theta\)とする。 このとき、次のように三角関数を定義する。
\begin{gather*} \sin \theta = \frac{y}{r}, \cos \theta = \frac{x}{r}, \tan \theta = \frac{y}{x} \end{gather*}
ただし、\(\theta = (n + \frac{1}{2})\pi (n \in \mathbb{Z})\)のとき、\(\tan \theta\)は定義されない。 このとき、点\(P\)の座標は\((r\cos \theta, r\sin \theta)\)と表される。
図 5.14. 三角関数

各象限での三角関数の符号は表5.16のようになり、これらをグラフにすると図5.17のような周期関数になる。

グラフから明らかなように、\(\sin\theta, \cos\theta\)の周期は\(2\pi\)、\(\tan\theta\)の周期は\(\pi\)である。 \(y = \sin\theta, y = \tan\theta\)は原点について対称な奇関数、\(y = \cos\theta\)は\(y\)軸について対称な偶関数である。 また、\(y = \tan\theta\)のグラフは直線\(\theta = (n+\frac{1}{2})\pi (n \in \mathbb{Z})\)を漸近線としてもつ。

表 5.16. 三角関数の符号
象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
\(\theta (rad)\) \(0\) \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\) \(\pi\) \(\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi\) \(\frac{3}{2}\pi\) \(\frac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi\) \(2\pi\)
\(\theta^\circ\) \(0^\circ\) \(0^\circ < \theta < 90^\circ\) \(90^\circ\) \(90^\circ < \theta < 180^\circ\) \(180^\circ\) \(180^\circ < \theta < 270^\circ\) \(270^\circ\) \(270^\circ < \theta < 360^\circ\) \(360^\circ\)
\(\sin\theta\) \(0\) \(+\) \(1\) \(+\) \(0\) \(-\) \(-1\) \(-\) \(0\)
\(\cos\theta\) \(1\) \(+\) \(0\) \(-\) \(-1\) \(-\) \(0\) \(+\) \(1\)
\(\tan\theta\) \(0\) \(+\) \(\times\) \(-\) \(0\) \(+\) \(\times\) \(-\) \(0\)
図 5.17. 三角関数